Руководства, Инструкции, Бланки

Развертка Найти Точку На Трех Проекциях Циоиндра Пошаговая Инструкция

Рейтинг: 4.4/5.0 (110 проголосовавших)

Категория: Инструкции

Описание

Развертка найти точку на трех проекциях циоиндра пошаговая инструкция

Уроки черчения
Самоучитель
§ 73. Развертки пирамидальных и конических поверхностей

При развертывании поверхности на плоскости каждой точке поверхности соответствует единственная точка на развертке: линия поверхности переходит в линию развертки; длины линий, величины плоских углов и площадей, ограниченных замкнутыми линиями, остаются неизмеренными. Таким образом, процесс построения развертки сводится к отыскиванию натуральной (истинной) величины каждого элемента поверхности и изображению их на плоскости.

Каждая боковая грань на развертке строится как треугольник по трем сторонам. CS — самое короткое боковое ребро, поэтому рациональнее мысленно разрезать пирамиду по этому ребру.

Для нанесения на развертку точек D, Е и F . соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью Sum, нужно определить истинные расстояния этих точек от вершины S. После построения развертки боковой грани поверхности усеченной части пирамиды нужно пристроить к ней треугольники АBС и DEF . дающие истинную величину основания и сечения пирамиды.

На рис. 149 способом триангуляции построена развертка конической поверхности, которая заменена поверхностью вписанной в нее двенадцатиугольной пирамиды. Развертка представляет собой симметричную фигуру, так как поверхность имеет плоскость симметрии Sum. В этой плоскости лежит самая короткая образующая S-6. По ней и сделан разрез поверхности. Самая длинная образующая S-0 является осью симметрии развертки поверхности.

Рис. 149 Поверхность двенадцатиугольной пирамиды

Натуральные величины образующих определены с помощью прямоугольных треугольников, как в предыдущей задаче на рис. 149. От оси симметрии S - 0 строим шесть в одну сторону и шесть в другую сторону примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Каждый из треугольников строим по трем сторонам, при этом две стороны равны истинным величинам образующих, а третья — хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления. Построенные на развертке точки О, 1, 2. соединяются. Построение развертки значительно упрощается, если поверхность представлена прямой пирамидой правильной формы или прямым круговым конусом. На рис. 150 приведена развертка четырехгранной прямой пирамиды. Построение ее упрощается тем, что образующая пирамиды AS и CS параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее спроецировались в натуральную величину.

Рис. 150 Развертка четырехгранной прямой пирамиды

Основание же пирамиды ABCD лежит в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и на нее проецируется в натуральную величину. Для построения развертки достаточно построить сторону AS и сделать засечки радиусом дуги, равным BS и АВ из точек S и А. соответственно получим точку В и т. д. Основание же в натуральную величину можно построить на базе одной из его сторон (на рис. 150 — на базе стороны АВ ). Положение точки на поверхности развертки пирамиды определим в следующем порядке: через фронтальную проекцию точки М (М2 ) проведем горизонтальную линию до пересечения с ребрами A2 S2 и B2 S2 . Получим точки 11 и 22. На линии AS развертки от точки А отложим отрезок h и из полученной точки 1 проведем линию 1, 2 параллельно AD на которой нанесем точку М в том положении, которое она занимает на горизонтальной проекции линии 1, 2.

На рис. 151 приведен пример построения развертки прямого кругового конуса. Для построения ее используем то, что очерковая образующая конуса l на фронтальной плоскости изобразилась в натуральную величину. Выбрав положение вершины развертки — точку S. радиусом L проводим дугу и откладываем на ней 12 равных частей, на которые предварительно разделили окружность основания конуса, изображенного на горизонтальной плоскости проекции в натуральную величину. Чем на большее количество равных участков разделим окружность, тем точнее построим развертку.

Рис. 151 Пример построения развертки прямого кругового конуса

Положение точки М на развертке поверхности конуса определим следующим образом: через фронтальную проекцию точки проведем образующую и построим горизонтальную ее проекцию. Найдем, что образующая пересекла основание конуса между точками 5 и 6. Точку К переносим на дугу развертки, расположив ее между точками 5 и 6, и соединим с вершиной конуса развертки S. Из точки M2 проведем горизонтальную линию до пересечения с очерковой образующей L и получим точку M2 . Расстояние от основания конуса до точки M2 по образующей является высотой точки, которую откладываем на развертке от точки К на линии KS. Полученная точка определит истинное положение точки M на развертке. Таким образом, развертку конической поверхности построим с помощью соседних точек окружности основания, в которую вписан правильный двенадцатиугольник, т. е. коническая поверхность условно заменена поверхностью, вписанной правильной двенадцатиугольной пирамидой, а для построения развертки применен способ триангуляции.

развертка найти точку на трех проекциях циоиндра пошаговая инструкция:

  • скачать
  • скачать
  • Другие статьи

    Начертательная геометрия

    Здесь мы начинаем публикацию материалов по предмету начертательная геометрия. Статьи находятся в стадии разработки, в настоящее время заполняется раздел по черчению. В будущем на той странице появятся уроки и пошаговые инструкции по решению задач. Надеемся, что с помощью них позиционные задачи и метрические задачи для вас перестанут быть нерешаемыми. Кроме того, мы постараемся в доступном виде объяснить азы начертательной геометрии, научимся строить проекцию точки, проекцию прямой, проекции плоскости. Наиболее сложной начертательная геометрия выглядит в первые дни, особенно если преподаватели относятся к своей работе без должного энтузиазма. На этих страницах мы постараемся раскрыть те нюансы, которые ускользнули у вас во время занятий по инженерной графике

    Уроки по начертательной геометрии. Инженерная графика и начертательная геометрия 1 курс.

    Определение линии пересечения треугольной призмы и полусферы.

    Дата добавления: 2010-05-18

    В этом уроке мы рассмотрим задачу, в которой требуется найти линии пересечения призмы и полусферы, определим их видимость.

    Дата добавления: 2010-09-30

    Одна из главных тем позиционных задач курса начертательная геометрия - определение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

    Дата добавления: 2010-10-12

    В этом уроке мы разберем алгоритм, позволяющий построить линию пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками. Эта задача практически гарантированно встретится вам в ходе изучения начертательной геометрии.

    Машиностроение Чертежи Всё для инженера-конструктора

    Прежде чем приступить к построению проекций геометрических тел, ознакомимся со способами нахождения проекций точек, расположен­ных на поверхностях мно­гогранников и тел враще­ния.

    Нахождение проекций отдельных точек, располо­женных на поверхности тел, рассмотрим на трёх про­стейших геометрических формах: пирамиде, конусе и шаре. Нахождение гори­зонтальных проекций точек при заданных вертикальных их проекциях рассмотрим одновременно для пирамиды и конуса.

    Пусть пирамида и ко­нус (фиг. 119, а, б) даны двумя своими проекциями, а точки А и В, лежащие на поверхностях этих тел, за­даны своими вертикальными проекциями а' и b'. Требу­ется найти горизонтальные и профильные проекции этих точек.

    Такие задачи можно ре­шать следующим способом: на поверхности тел через заданную точку и вершину фигуры проводится прямая линия и затем строятся про­екции этой прямой. Искомая горизонтальная проекция точки будет лежать на го­ризонтальной проекции пря­мой. На фиг. 119, а и 119, б через точку b' проведена вертикальная проекция s'k' вспомогательной прямой ли­нии SK. Как видно, верти­кальной проекции s'k' со­ответствует горизонтальная проекция sk, что позволяет построить горизонтальную проекцию точки В. После этого легко построить профильную проекцию точки b''.

    Чтобы построить горизонтальную проекцию точки А для пирамиды, нет необходимости строить вспомогательную прямую, так как точка А по заданию лежит на ребре S2. При наличии профильной проекции пирамиды легко построить профильную проекцию а" точки А на про­фильной проекции ребра S2 и по ней построить горизонтальную проек­цию а. Если профильной проекции на чертеже нет, надо использовать следующее основное положение начертательной геометрии: если точка а'

    делит отрезок s'2' в отношении s'a'/a'2'=m/n, то и на горизонтальнои проекции будет sa/a2=m/n. Вычислив по вертикальной проекции отношение ™, можно легко найти горизонтальную проекцию точки А на S2.

    Эта задача может быть решена способом секущих плоскостей, являю­щимся общим для любой пространственной формы. Если провести через вертикальную проекцию точки А секущую горизонтальную плоскость P, то она пересечёт пирамиду по треугольнику, подобному треуголь­нику основания (фиг. 119, а), a ко­нус или шар (фиг. 119, б и 120) — по кругу. В этом случае треуголь­ник и круг сечения проектируются на горизонтальную плоскость в на­туральную величину. Горизонтальные проекции точки A расположены одновременно на перпендикулярах к оси ОХ, опущенных из соответ­ственных вертикальных проекций точки A.

    При выполнении упражнений по проекционному черчению при­ходится довольно часто решать за­дачи на построение линий пересе­чения друг с другом двух поверх­ностей. Для выполнения этих по­строений необходимо уметь нахо­дить точки входа и выхода прямых, пересекающих заданные поверх­ности. Рассмотрим это построение на примерах.

    Пусть даны проекции пирамиды, конуса, шара и прямые EF и MN, пересекающие эти тела. Прямая EF перпендикулярна к плоскости V, а прямая MN—к плоскости W (фиг. 121, а, б, в). Требуется построить точки входа и выхода прямых, пересекающихся с заданными поверх­ностями.

    Проводим через прямые EF и MN горизонтальные секущие плос­кости: через прямую EF—плоскость P, а через прямую MN—плоскость Q. Эти плоскости образуют на горизонтальной плоскости проекций пира­миды и конуса в сечении фигуры, подобные их основанию, а для шара— круг. Точки пересечения прямых с контурами сечения и будут искомымй точками входа и выхода: для прямой EF—точки А и С, а для прямой MN—точки К и L.

    Если прямая пересекает поверхность шара, пирамиды или конуса перпендикулярно к плоскостй Н, то в этом случае проводят через за­данную прямую фронтальную плоскость. С целью упрощения построений для пирамиды и конуса полъзуются горизонтально-проектирующей плоскостью, которая должна непременно проходить через вершину фигуры.

    Построив затем на вертикальной плоскости проекций, соответственно секущей плоскости, контуры сечения, находят точки входа и выхода.

    Примеры решения задач на построение проекций фигур

    Пример 1. На фиг. 122 даны три про­екции пятиугольной усечённой пирамиды с открытым вырезом, образованным несколь­кими секущими плоскостями. Сечением этих плоскостей образовано на поверхности пира­миды ряд характерных точек: С, D, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, В и А, которые на вертикаль­ной плоскости проекций отмечены соответ­ственно: c', d', 1', 2', 3', 4', 5', 6', 7', 8', b' и a'. Требуется построить горизонтальные и профильные проекции этих точек.

    Проекции точек А, В, С и D могут быть легко определены, так как они рас­положены на рёбрах пирамиды. Определим, для примера, горизонтальную проекцию точ­ки С, лежащую на ребре MN. Для этого проведём из точки с' проектирующую линию до пересечения с горизонтальной проекцией ребра MN и определим таким образом гори­зонтальную проекцию с точки С. Имея вер­тикальную и горизонтальную проекции этой точки, можно построить и профильную про­екцию с". По аналогии с этим, строим про­екции точек А, В и D. Проекции остальных точек 7, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 строим спосо­бом секущих плоскостей.

    Чтобы построить горизонтальную про­екцию, например точки 7, проводим через неё секущую плоскость P, которая пересечёт пирамиду по пятиугольнику, подобному её основанию. Чтобы не затемнять чертежа по­строением пятиугольника, ограничимся одной из его сторон, проектирующейся на грань KETP. Пересечение контура сечения с го­ризонтальной проекцией ребра KP даст гори­зонтальную проекцию точки 1. Горизонталь­ные проекции точек 2, 3 определяются по аналогии, т. е. проведением через 2' и 3' плоскости R. Подобным образом произво­дится построение остальных точек. Имея го­ризонтальные и вертикальные проекции всех точек, нетрудно построить их профильные проекции. Законченное построение пирамиды приведено на фиг. 123. К изображениям в ортогональных проекциях добавлена аксонометрическая проекция этой пирамиды.

    Пример 2. Построение в усечённом конусе вырезов,образованных четырьмя плоскостями, пересекающими поверхность конуса по основным кривым: окружности, эллипсу, параболе и гиперболе, приведено на фиг. 124. Горизонтальные проекции точек А и 1, лежащих на верти­кальной проекции линии контура конуса, легко определить без допол­нительных построений. Проекции остальных точек найдены проведением горизонтальных секущих плоскостей, обозначенных следами Pv,Rv и т. д.

    Определив горизонтальные проекции точек, нетрудно построить их профильные проекции. Последовательное соединение проекций точек кривых сечения показано на фиг. 125. Там же даны размеры конуса. Рядом с ортогональными проекциями показан тот же конус в диметрической проекции.

    Лекция 6

    Лекция 6. Многогранники

    По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Стоимость и возможные формы обучения (очно или дистанционно) смотрите разделе Цены.
    Подробнее о репетиторстве.

    6.1. Пирамида. Сечение пирамиды плоскостью. Развертка пирамиды

    Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками, которые называется гранями.

    Грани, пересекаясь, образуют ребра .

    Ребра, пересекаясь, образуют вершины .

    Рассмотрим два основных вида многогранников:

    Пирамида – многогранник, у которого боковыми гранями являются треугольники, а основанием – многоугольник .

    Упражнение

    Дана пирамида, основание которой параллельно ?1. Основание представляет собой некоторый треугольник.

    S – вершина пирамиды (Рисунок 6.1).

    Рисунок 6.1 – Пересечение поверхности пирамиды прямой

    Требуется построить точки пересечения прямой m общего положения с поверхностью пирамиды.

    1. Вводим через прямую вспомогательную секущую плоскость ?? m и ???2 .
    2. Строим сечение ? (123) поверхности пирамиды с плоскостью ?.

    Решение задачи сводится к нахождению линии пересечения плоскостей общего положения (боковые грани пирамиды) и плоскости частного положения (плоскость ?).

    Примечание. При наличии круто падающих рёбер (близких к вертикали), построение недостающей проекции точки на ребре по одной данной проекции необходимо выполнять при помощи пропорционального деления отрезка.

    1. В сечении находим точки M и N принадлежащие прямой m .
    2. Определяем видимость прямой m .

    Развёрткой многогранника называется фигура, полученная в результате последовательного совмещения граней многогранника с плоскостью.

    Развёртка всегда строится наружной (лицевой) стороной к наблюдателю.

    Для построения развёртки пирамиды нужно определить истинные величины всех рёбер пирамиды и построить грани пирамиды в виде треугольников, последовательно присоединяя их друг к другу.

    Основание можно присоединить к любой грани, например, АС (Рисунок 6.2).

    Рисунок 6.2 – Построение развёртки пирамиды

    В упражнении истинные значения ребер определены способом вращения. Для построения линии сечения на развертке, на истинных величинах рёбер построим точки , проведя горизонтальные линии (траектории перемещения точек 1, 2, 3) до пересечения с соответствующими истинными проекциями ребер.

    6.2. Призма. Развертка призмы

    Призма – многогранник, у которого боковыми гранями являются параллелограммы, а основания – многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях .

    Упражнение

    Дана призма, основания которой параллельны плоскости проекций ?1 .

    Требуется построить точки пересечения прямой m с поверхностью призмы (Рисунок 6.3).

    Рисунок 6.3 – Построение «точек встречи» прямой с поверхностью наклонной призмы

    1. Вводим через прямую вспомогательную секущую плоскость ?? m и ???2 .
    2. Строим сечение поверхности призмы с плоскостью ? >(?(123)).
    3. В сечении находим точки K и L принадлежащие прямой m .
    4. Определяем видимость прямой m. Если грань АВ на ?2 видна, то точка К на ?2 видима, грань ВС невидима, следовательно, точка L невидима.

    Рассмотрим наклонную призму. Пусть основание призмы параллельно ?1. а ребра параллельны ?2 .

    Построим нормальное сечение, то есть сечение плоскостью ?, перпендикулярной ребрам призмы (Рисунок 6.4).

    Это сечение развернется в прямую линию. Боковые ребра перпендикулярны к линии сечения.

    Рисунок 6.4 – Построение развёртки призмы

    1. Найдем истинную величину сечения – (10 20 30 ), для чего повернём сечение (123) вокруг оси n ??2. (можно ввести ДПП ?3 //?).
    2. Проведём горизонтальную линию на свободном месте листа. Отложим на ней отрезки:
      / 10 — 20 /; / 20 — 30 /; / 30 — 10 /.
    1. Проведём направления рёбер перпендикулярно этой линии через точки: 10 ; 20 ; 30 и отмерим вверх и вниз расстояния от нормального сечения (на ?2 ) до верхнего и нижнего основания, откладывая их на линиях-ребрах.
    6.3. Взаимное пересечение многогранников

    В результате пересечения многогранников получим ломаную линию.

    Возможны два случая пересечения многогранников (Рисунок 6.5):

    Рисунок 6.5 – Варианты пересечения многогранников

    Вершины ломаной – точки пересечения рёбер одного многогранника с гранями другого.

    Звенья ломаной – линии пересечения граней .

    Для решения задачи нужно найти вершины ломаной, то есть точки пересечения всех рёбер, участвующих в пересечении.

    Построенные точки соединить.

    Упражнение

    Построить линии пересечения призмы с пирамидой (Рисунок 6.6).

    Рисунок 6.6. Построение линии пересечения призмы с пирамидой

    1. Находим на ?2 проекции точек пересечения ребра пирамиды с проецирующими гранями призмы (точки 12 и 22 ). Находим их горизонтальные проекции.
    2. Строим точки пересечения ребра призмы с боковыми гранями пирамиды (точки 32 и 42 ), для чего используем вспомогательную плоскость ???2 .
    3. Полученные на ?1 точки 3, 2, 4, 1 соединяем отрезками прямых. Причем отрезки 11 -31. 11 -21. 11 -41 невидимы. Получили замкнутую линию пересечения пирамиды с призмой.
    Упражнение

    Построить три проекции пирамиды с вырезом и развертку (Рисунок 6.7).

    1. По двум проекциям построить третью;
    2. На всех трех проекциях построить проекции линии пересечения призматического выреза с пирамидой;
    3. Невидимые участки линии пересечения и участки рёбер многогранников показывать штриховой линией;
    4. Построить развёртку пирамиды с нанесением линии пересечения.

    Рисунок 6.7. Построение проекций пирамиды с вырезом и развертки

    Это сечение пересекается:

    — с ребром D в двух точках 1 и 4;

    — с ребром Е в двух точках 2 и 5.

    Соединим найденные точки: 1-2-3-1; 4-6-5-7-4 и определим видимость.

    Построение развертки рассмотрено ранее.

    6.4. Задачи для самостоятельной работы

    1-4. Построить линию пересечения гранных поверхностей. Показать видимость (Рисунки 6.8 – 6.11).

    По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Стоимость и возможные формы обучения (очно или дистанционно) смотрите разделе Цены.
    Подробнее о репетиторстве.

    Поделиться с друзьями Записаться на обучение

    Развертка пирамиды

    При построении развертки пирамиды применяется метод треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды и многоугольника - основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трем сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину ребер и сторон основания.

    Рисунок 137. Определение истинной величины основания и ребер пирамиды

    Алгоритм построения можно сформулировать следующим образом (рис. 137):

    определяют натуральную величину основания пирамиды (например, методом замены плоскостей проекций);

    определяют истинную величину всех ребер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех ребер пирамиды определена методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды S );

    с троят основание пирамиды и по найденным трем сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие (рис.138).

    Рисунок 138. Построение развертки пирамиды

    Точки, расположенные внутри контура развертки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех ребер, по которым многогранник разрезан, на развертке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развертки.

    Примером первой точки на рисунках служит точка К0 и К О D . а иллюстрацией второго случая являются точки М0 и М0 *. Для определения точки К0 на развертке пришлось по ее ортогональным проекциям найти длины отрезков АМ ( метод замены плоскостей проекций) и (метод вращения). Эти отрезки были использованы затем при построении на развертке сначала прямой S0М0 и, наконец, точки К0 .

    Развёртка поверхностей

    Развёртка поверхностей Введение Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру - ее разверткой. Трубная цилиндрическая резьба применяется для соединения труб, где требуется герметичность. Профиль резьбы - равнобедренный треугольник с углом при вершине. Основные свойства развертки 1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; 2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; 3. Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; 4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; 5. Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической. Развертка поверхности многогранников Разверткоймногограннойповерхностиназываетсяплоскаяфигура,получаемаяпоследовательнымсовмещениемвсехгранейповерхностисплоскостью. Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности - плоских многоугольников. Существует три способа построения развертки многогранных поверхностей: 1. Способ нормального сечения; 2. Способ раскатки; 3. Способ треугольника. Развёртка пирамиды Рисунок1. Пирамида и её развертка При построении развертки пирамида применяется способ треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников - граней пирамиды и многоугольника - основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трем сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину ребер и сторон основания. Рисунок2. Определение истинной величины основания и ребер пирамиды Алгоритм построения можно сформулировать следующим образом (рис.2 ): 1. Определяют натуральную величину основания пирамиды (например методом замены плоскостей проекций); 2. Определяют истинную величину всех ребер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех ребер пирамиды определена методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды S ); 3. Строят основание пирамиды и по найденным трем сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие (рис.8.42). Точки, расположенные внутри контура развертки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех ребер, по которым многогранник разрезан, на развертке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развертки. Примером первой точки на рисунках служит точка К0 и К ОSАD . а иллюстрацией второго случая являются точки М0 и М0*. Для определения точки К0 на развертке пришлось по ее ортогональным проекциям найти длины отрезков АМ (метод замены плоскостей проекций) иSК (метод вращения). Эти отрезки были использованы затем при построении на развертке сначала прямой S0М0 и, наконец, точки К0 . Рисунок3. Построение развертки пирамиды Развёртка призмы В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину. Пересекая призму вспомогательной плоскостью б . перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения - треугольника 1,2,3, а затем определяют истинную величину этого сечения. На примере она найдена методом вращения. В дальнейшем строям отрезок 10-10* . равный периметру нормального сечения. Через точки 10,20,30 и 10* проводят прямые, перпендикулярные 10-10*. на которых откладывают соответствующие отрезки боковых ребер призмы, беря их с новой фронтальной проекции. Так, на перпендикуляре, проходящем через точку 10 . отложены отрезки 10D0=14D4 и 10А0=14А4 . Соединив концы отложенных отрезков, получают развертку боковой поверхности призмы. Затем достраивают основание. (рис.4 .) Рисунок4. Развертка призмы способом нормального сечения Разверткапризмы,частныйслучай,когдаоснованиепризмынаоднуизплоскостейпроекцийпроецируетсявнатуральнуювеличину(рис.5). Развертка боковой поверхности такой призмы осуществляется способом раскатки. Этот способ заключается в следующем. Сначала, как и в предыдущем примере, преобразуют эпюр так, чтобы боковые ребра призмы стали параллельны одной из плоскостей проекций. Затем новую проекцию призмы вращают вокруг ребра С4F4 до тех пор пока грань ACDF не станет параллельной плоскости П4 . При этом положение ребра С4F4 остается неизменным, а точки принадлежащие ребру AD перемещаются по окружностям, радиус которых определяется натуральной величиной отрезков AC и DF (так как основания призмы параллельны П1 то на эту плоскость проекций они проецируются без искажения т.е. R=A1C1=D1F1 ), расположенных в плоскостях, перпендикулярных ребру С4F4 . Таким образом, траектории движения точек A и D на плоскость П4 проецируются в прямые, перпендикулярные ребру С4F4 . Когда грань ACDF станет параллельна плоскости П4 . она проецируется на неё без искажения т.е. вершины A и D окажутся удаленными от неподвижных вершин C и F на расстояние, равное натуральной величине отрезков AC и DF . Таким образом, засекая перпендикуляры, по которым перемещаются точки A4 и D4 дугой радиуса R=A1C1=D1F1 . можно получить искомое положение точек развертки A0 и D0 . Следующую грань АBDE вращают вокруг ребра AD . На перпендикулярах, по которым перемещаются точки B4 и E4 делают засечки из точек A0 и D0 дугой радиуса R=A1B1=D1E1 . Аналогично строится развертка последней боковой грани призмы. Процесс последовательного нахождения граней призмы вращением вокруг ребер можно представить как раскатку призмы на плоскость параллельную П4 и проходящую через ребро С4F4. Построение на развертке точки К . принадлежащей боковой грани АBDE, ясно из рисунка. Предварительно через эту точку по грани провели прямую NМ . параллельную боковым ребрам, которая затем построена на развертке. Рисунок5. Развертка призмы способом раскатки Развертка цилиндрической поверхности Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму (рис.6 ). Чем больше углов в призме, тем точнее развертка (при n> ?призма преобразуется в цилиндр.). Развертка конической поверхности Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды, предварительно вписав в конус n-угольную пирамиду (рис.7 ). Если задана поверхность прямого конуса, то развертка его боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l . а центральный угол ц=360оr/l . где r- радиус окружности основания конуса. Рисунок7. Развертка конической поверхности Заключение Многие технические конструкции изготавливаются из гибкого листового материала. Заготовки этих конструкций представляют собой их развертки. Построение разверток изделий и изделий по их разверткам - важная техническая задача. Многие изделия и детали нередко содержат фасонные элементы сложных геометрических форм из листового материала. Изготовление их требует построения разверток. Умение построения разверток имеет огромное практическое значение при конструировании различных изделий из листового материала. Часто приходится изготавливать не только развертывающиеся поверхности, но и неразвертыващиеся. В этом случае последние разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями (цилиндрическими, коническими, многогранными), а затем строят развертки этих частей. Список использованной литературы

    Начертательная геометрия

    3.1. Ортогональные (прямоугольные) проекции точки. Проецирование точки на три плоскости проекций

    Рассмотрим систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций (рис. 5): П1 горизонтальная плоскость проекций, П2 фронтальная плоскость проекций и П3 профильная плоскость проекций.

    Рис. 5. Плоскости проекций:

    Точка пересечения трех плоскостей O123 – начало координат. Линия пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей называется осью проекций x12 = П1 ? П2. линия пересечения горизонтальной и профильной плоскостей называется осью проекций y13 = П1 ? П3. линия пересечения фронтальной и профильной плоскостей называется осью проекций z23 = П2 ? П3 .

    Поскольку плоскости проекций бесконечны, три плоскости разделят все пространство на восемь частей – октантов. Порядок отсчета октантов (см. рис. 5): слева от плоскости П3 (против часовой стрелки) с первого по четвертый, справа – с пятого по восьмой .

    Направление осей x,y,z в первом октанте считается положительным. Знаки осей, продолженных за начало координат, считают отрицательными.

    Для получения проекций точки А на три плоскости (рис. 6) П1. П2 и П3 через точку А проводятся проецирующие лучи [AA1 ) – до пересечения с плоскостью П1. [AA2 ) – до пересечения с плоскостью П2 и [AA3 ) – до пересечения с плоскостью П3. Точка A1 – горизонтальная проекция точки. A2 – фронтальная проекция точки. A3 – профильная проекция точки. Точки A12 A13 A23 – вспомогательные, лежащие соответственно на осях x,y,z .

    Рис. 6. Проецирование точки на три плоскости проекций

    Для получения плоского чертежа точки А необходимо повернуть плоскость П1 вокруг оси x по часовой стрелке, а плоскость П3 – вокруг оси z до совмещения с П2. Плоскость П2. точки A2 и A12 остаются неподвижными (рис. 7), точки A1 и A13 и ось y1 поворачиваются вместе с П1. После поворота, точки A1. A2 и A12 образуют вертикальную линию связи. Точки A3 и A23. поворачиваясь вместе с П3 и осью y3. образуют, после поворота, горизонтальную линию связи A2 A3. Точки A1 и A3 соединяются ломаной линией связи A1 A0 A3. Вершина ломаной линии связи или точка преломления A0 лежит на биссектрисе угла y1 O123 y3. Множество вершин ломаных линий связи определяют условную линию, называемую постоянной прямой комплексного чертежа k123 .

    Рис. 7. Трехкартинный комплексный чертеж точки:

    Чертеж трех совмещенных плоскостей проекций называется трехкартинным комплексным чертежом. Метод образования комплексного чертежа называют методом Монжа, в честь французского ученого Гаспара Монжа, жившего в XIX веке, первым предложившего использовать совмещенные чертежи.

    Для решения задач в начертательной геометрии часто используются чертежи на двух совмещенных плоскостях проекций, которые называются двухкартинными комплексными чертежами (рис. 8).

    Рис. 8. Двухкартинный комплексный чертеж точек, занимающих различное положение относительно плоскостей проекций